著名數學家、中國運籌學的拓荒者和帶頭人越民義，根據自己學習數學過程中的失敗經歷，總結出怎樣學數學的經驗。他謙虛地認為，這些失敗的經驗對於後之來者雖不能導引「方向」，卻並非沒有指出「迷津」之用。
撰文 | 越民義
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數學是一門使人著迷的學科
喜歡介紹自己學習經驗的，大多是一些自以為有所成就而又不願意淹沒不聞的人。我既然願意寫這篇短文，也就難把自己排除在這些人之外。但我確是個碌碌終日、無所建樹的人。假若說有一些「經驗」，主要也是在失敗這方面。失敗的經驗對於後之來者雖不能導引「方向」，卻並非沒有指出「迷津」之用。
數學是一門使人著迷的學科，但它卻不像文學那樣容易使人接近。一個作者在創作一篇 （部） 文藝作品時，心裏往往不知不覺地懷想著廣大的讀者，希望從他們那裏得到共鳴，喚起他們的某種欽佩或同情。而多數數學工作者在創造某一成果時，心裏懷想的主要是他的一 (小) 部份水平比他更高的同行，希望以一種優勝者的姿態引起那些人的欽佩或贊賞 (為了升級或別的目的而撰寫「論文」的人不在此列) 。不重視同行的評價，而只希望得到社會多數群眾的同情和欽佩的，這樣的數學家，我想，不能說沒有，但為數不會很多。因此，數學上的定理，從它們出現的過程來說，就難說具有主動地去贏得廣大群眾欣賞的願望，人們就談不上會自然地去接近它們。
一個青年人開始喜歡數學，往往是由於他自覺或不自覺地經過一段或長或短的時期的努力之後，使他感到比其周圍的人勝過一籌，使他感到，對於這種被普遍看作是難於對付的學科，他卻有某種程度的過人之處，多少懷著一種優勝者的心情向前邁進。這時，他會對於解決數學難題感到樂趣，數學才把他「迷住」。他越是被迷住，學習就會變得刻苦深入，成績自然也就會顯著提高，興趣也就越來越大。所以，對於數學的愛好 （或興趣） 是後天養成的，是經過刻苦的努力產生的，不是先天的。
有的人，在幼年時代對於數學計算或對某些簡單幾何圖像的辨識或想象，比他周圍同年齡的人高一些，後來他又以數學為職業。這種情況往往使他感到具有一種天生的數學才能，甚至生來就是要搞數學這門行業的。我們認為天生的某些才幹只是有助於他容易對數學感興趣，他對數學的愛好是後天的。除個別人之外，一般人的才幹差不了多少。我在高中上學時，從二年級開始分文理班，由於要求學理科的人多，到理科班需要透過考試。我數學學得很差，勉強透過。但在月考時，我只考了五十幾分，不及格，挨了老師一頓臭罵。我同寢室中有一位和我鄰鋪位的同學，人家都叫他鄭老總，卻考了七十幾分，受到表揚 （那時考上七十幾分多不容易) 。我心裏不服，認為我比他聰明，至少人家沒有叫我老總，認為他只不過偶然碰上罷了。當時有好幾位同學來向鄭老總請教，他回答得頭頭是道。我不禁暗中欽佩，便問他是怎麽會的。他告訴我，每天當我們吃完中飯去睡覺時，他卻到教室裏做習題。他的話給了我很大的啟發。從那天談話後，我每天吃完中飯，便不再睡午覺，趕到教室裏做習題。不久我也取得了良好的成績，開始了我的數學生涯。
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學習數學要循序漸進
我不是一個循規蹈矩做學問的人，稍有所得，便好高騖遠，希望一步登天。我總是力圖學一些比課堂上更深更難的東西。比如說，當老師在教復數和二次方程式時，我卻拼命地去做方程式式論 （範氏大代數） 一章的習題。由於是自學，對課文是一知半解，等到老師教授方程式式論一章時，由於大部份內容我已熟悉，便無心聽課，自己不清楚的地方也無心仔細鉆研，成天感興趣的則是微積分和微分方程式，其結果，所學的大部份是「夾生飯」，到時都得回鍋，事倍功半。雖然我從朋友們的工作中逐漸認識到循序漸進是很好的學習方式，但畢竟已浪費了不少時間。而且，那種好高騖遠，見異思遷的習慣已難根除。
所謂循序漸進，就是說，當第一步尚未學得很透徹，甚至還是似懂非懂的時候，不要進入第二步。數學這門學科，邏輯性很強，後面的部份往往要用到前面部份的知識，或處理問題的方法。有時雖然沒有直接用到定理或方法，但卻需要某種訓練，缺少這些知識、方法和訓練，越往下走，便會感到越來越糊塗。寫出來的東西，似是而非，以直觀代替嚴格的數學推理，謬誤百出。在學習上，由於遇到的東西越來越復雜，便會感到亂成一片，不知道文章裏的問題是如何解決的，甚至連講些什麽也不清楚。這樣就會越來越感到學不下去，從而喪失了興趣。假若養成一種循序漸進的習慣，便會將學習的東西整理得一清二楚。一個復雜的證明，哪些部份是作者獨創的，哪些是「高著」，估計自己是作不出來的。從這當中便發現了自己與作者之間的差距。「舜人也，我亦人也」，一定要向那些有才幹的作者看齊。不足之處，趕快補起來，努力追上去。一般來說，在同一篇文章中，「高著」一般說來是不多的。對於這種「高著」必須下功夫學習，體會，還要想辦法把它派個用場。關於這一點下面還要講到。
當你養成一種分析問題、琢磨文章的習慣之後，日積月累；你便會感到復雜的東西也是由少數幾個大的部份組成的。這些部份出現的原因和它們之間的相互關系也是可以理解的。與此同時，由於讀的東西多了，運算的技巧也高了，你會發現，一些復雜的推演過程大部份是由某些必然的步驟所組成，就比較容易抓住新的關鍵性的部份。而當你自己要創作、寫文章的時候，便能看到大的布局，容易知道困難的所在。這就好比下棋，一個好的棋手，每下一子棋，他都必須全力以赴，不輕易落子，把每種可能出現的情況，盡自己的力量考慮得清清楚楚。習之既久，他便發現，每欲下一子，所須考慮的只是少數幾種情況，其余的可以置之不理，把考慮的範圍歸結到少數幾種可能性，分析問題便會深入。好的棋手可以看到十步、二十步，甚至更多，功夫便在於此。反之，有的人不註意培養自己，隨手下子，靠的是直觀，深入不進去，一子下去，便成大錯，盤數下了不少，卻是一手屎棋。
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學習的目的就是要去解決問題
對於學習來說，循序漸進很有必要，可以避免夾生飯。但是，光是循序漸進是不夠的。一本書或一篇文章，它總是按著某種邏輯次序來寫。按其所包含的內容，依照相互牽連的關系，把內容安排成某種次序，使前面所講的東西不會用到後面所講的，這叫做順理成章，不然就亂了套。不可能設想，一本中學教本把二次方程式放在一次方程式的前面來講。因為在解二次方程式時要用到一次方程式方面的知識。一本像樣的書總是按照循序漸進的精神來寫的。
我們讀一本書，目的是要學得一些有用的知識。也就是說，這些知識將來可能在某種場合用到。需用時，我們既知道有這些東西存在，不必臨時現學。這裏講的知識，可以是某一定理或結論，可以是某些處理問題的技巧，也可以是它們的某種復體。要使我們的工作能順利進行，而不是到處碰壁，就要求我們能夠熟練地掌握這些知識。在使用時，有的是信手拈來，有的須要加以改造，有的則須要進行某種創造。而要做到這一點，教師和學生都要對自己有較高的要求。
拳教師在教人練拳時，一般總是先把拳術一套套教給學生。學生在學過這些套數之後，在真正遇到對手時，若他按照老師所教的順序一一施展出來，那便成了一出滑稽戲。他要不挨打，就得隨機應變，靈活使用自己學過的東西。他應該懂得在什麽情況下套用哪一手，在什麽情況之下把不相關聯的幾手放在一起來使用，有時需要改變，有時需要創造，等等，這叫做拆得開、聚得攏。教師好壞的差別，首先是他教的每個動作是否正確，但更重要的差別是：好的教師著重於學生如何使用已經學到的知識。他與學生對打，看出他的破綻，讓他吃個虧，然後再指點他，教他如何克服他的缺點。水滸傳第二回裏所說的王進教史進的方法便是一個很好的例子。史進早先的教師打虎將李忠看來是一位不甚高明的教師。史進雖然經了七、八個「有名的師父」的教導，使出來的棍棒「只是有破綻，贏不得真好漢」，「好是好，上不了陣」。在與王進較量時，才經過一個回合，給王進「只一激，那後生 (史進) 的棒丟在一邊，撲地望後倒了。」
當然，這並不是說，那七、八個「有名的師父」都是混飯吃。史進從他們那裏的確也學了不少東西，所以「前後得半年之上，史進把十八般武藝，從新學得十分精熟，多得王進盡心指教，點撥得件件都有奧妙。」那七、八個師父所缺的就是沒法點撥出這種奧妙。但江湖上能人甚多，各有各的專長，各有各的花招。如何對付這些花招，再好的師父也不可能給學生一一指出。這就需要自己在實踐中去學習，去體會，精益求精。數學的內容比之拳術要復雜得多。對於如何運用所學的知識，一般是透過做習題來達到 （在這裏，我要說一句，我是不贊成出題解書的） 。但習題一般與其所在的章節的內容有關，因此，在訓練人的能力和套用已得到的知識方面有它的局限性。應該培養學生有一種見著偏題、怪題、難題就試一試，不搞它個水落石出不肯罷休的習慣。要求學生使出通身解數，把「吃奶的力氣」也拿出來。一道題，若自己做不出來，而別人做出來了，說明自己是個「陋蛋」，須要加倍學習，努力趕上去；若自己做出來了，別人尚未做出，說明自己還有一些可取之處，起到鼓舞士氣的作用。透過做一些不入正規的習題，可以培養學生靈活使用學得知識的能力。
我們應鼓勵老師與學生一起作題。老師有時難免輸給學生，這是正常的。「三人行，必有我師」，何況一個班有好幾十個學生，其中自然會有一些有才華的。老師掌握的知識可能超過學生，但不能說，他的聰明才智也超過班上所有的學生。這是合乎邏輯的推理。因此，輸給他們決不是什麽丟臉的事。老師從失敗中可以從學生那裏學到某些思考問題的方法，某些自己不知道的東西。有了這些，在教下一班時，便增加了一分能力，逐漸贏得學生的信任，這就叫教學相長。
我們現在來談一談學習的目的問題。我們說學習是一種手段，不是目的。我們總是為著某種目的而學。漫無邊際的學習，只不過是浪費時間和精力罷了。學習的目的就是要利用所得到的知識和能力去解決問題。在這裏，我們要特別強調「能力」這個詞。它是在學習的過程中，無形地逐漸培養起來的，常聽到一些人說：「我在工作中就沒有用到課堂上學來的東西。」這種提法並不全面，課堂上的知識，對於有的人來說，可能是沒有直接用上，但透過學習培養出來的能力卻在那裏發生作用。這種能力包括思考問題的方式，思維邏輯，以及由於具有較廣泛的知識而獲得的分析和吸收新鮮事物的能力，等等。即使對於這些人，我相信，只要他肯鉆研，而不是應付眼前的工作算事，他所學過的東西必能派上用場。
學習的目的就是要去解決問題。去解決什麽樣的問題呢？就數學來說，問題大致有三個來源。一類問題是由數學內部產生的，也就是所謂純數學方面的問題。比如說，任何一個充分大的偶數是否必能表示成兩個質數之和？這一問題是由數學的結構產生的。第二類問題是為了解決實際問題而產生的具有普遍性的數學問題。運籌學以及力學中絕大部份問題皆屬此類。比如運輸的組織問題。這類問題可以化為某種特定形式的數學問題。隨之而來的就是研究如何求解，以及研究在各種情況下解的性質，等等。這裏所研究的不是某一個具體的運輸問題，而是研究某種具有共性、代表性的運輸問題。然後將研究出來的結果運用到各種具有類似結構的實際問題中去。我們稱這種以研究自然現象和社會現象為背景的數學問題為主的學科為套用數學。第三類問題是對於某一具體的實際問題如何利用數學方法來求解。同樣是運輸問題，但具體情況各有不同。比如說，有的貨物容易破碎，有的貨物易燃，有些貨物，例如化學藥品與食物，不能放在一起運輸。在將套用數學中的方法用於具體問題時，還須根據情況作某些修改。我們稱這類工作為數學的套用。不管是哪類問題，都要求我們靈活運用所學的知識，要求我們在舊的基礎上創造新的。在這裏，我想對年輕的讀者說幾句話。事物的發展總是後來居上，後來的人總是要超過前人。這是歷史發展的必然規律。否則人類就不可能從穴居野處進步到現在的生活情況。但究竟由誰來超過前人，那又是另一回事了。透過努力學習、刻苦鉆研雖然並不一定就勝過前人，但不這樣做，必然不可能勝過前人。勝利只是屬於那些不畏艱險、不辭辛勞的人，而在這裏，毅力是極為重要的，我不只一次有這樣的經驗，當我研究一個問題時，經過一番「努力」之後，感到走投無路，便決然放棄。但沒有多久，別人做了出來。把別人的做法拿來一看，完全是自己力所能及的。我的失敗就在於缺乏毅力。能不能把一些錯綜復雜、千頭萬緒相互糾結在一起的事物整理得有條不紊，一清二楚，弄清它們之間相互的關系，推出必要的結論，這需要毅力；在遇到困難，感到束手無策的時候，能不能再從各種不同的渠道來考慮，去仔細閱讀和分析有關的資料，從中吸取有用的東西，把它們用到自己的問題上面來，這需要毅力；在要開辟一個新的課題或領域時，要閱讀大最文獻，學習一些自己前所未遇的東西，任重道遠，能不能貫徹始終，這需要毅力。總之，毅力是一種完成事業的必備因素。孔子說，「剛毅木訥近仁」，把毅力提到近乎仁 （儒家的最高品德） 的高度。國外也把它 (fortitnde) 列入四種基本品德之一，這不是沒有道理的。
學習的目的就是用。要運用已學到的東西去創出精神的或物質的財富。那種只問耕耘、不問收獲的思想不能被認為是一種好的思想，對人民負責的思想。「用」是針對某種目標而言。有了目標，對於學習的內容就有所選擇，不會漫無邊際。用時，也知道應學到什麽程度為止，也可衡量出對於已學過的東西是否真正了解，融會貫通，也知道哪些知識對自己的目的來說是需要掌握的。這時，你也會感到，有些知識雖然已經很熟悉，甚至可以背誦如流，但並沒有真正掌握，因為不會使用，這時重新學習，體會便和以前大有不同。
在這裏就出現了一個如何尋找「目標」的問題。對於從事實際工作的同誌來說，目標往往來自當時所從事的實際課題。例如一個設計人員，在設計某一工程時，假若他希望有所創造，就應該去了解當前國際上該方面的最新方法和最新成就，然後根據中國的具體條件，經過認真分析，提出應興應革的意見。對於一個搞理論工作的同誌來說，事情就比較復雜一些。理論課題的要求不像實際問題那麽具體，自由度大一些。如何選擇一個適當的課題，即使對於有經驗的人來說，也不是那麽容易的。在這方面，雖然不乏自學成才之士，但若能得到良師益友之助，則可少走一些彎路。
一個理論課題的選擇，至少必須考慮兩個方面：其一，該課題應具有一定的理論價值；其二，應是自己的能力所能勝任的。初學的人容易走極端，或者把問題選得很難，大大超過自己的能力，結果是到處碰壁、一籌莫展，白白浪費了許多時間。比如有不少人把Goldbach問題或Fermat問題作為研究課題，而他們對於有關這些課題的研究工作發展的情況，以及前人未能成功的原因，也就是問題困難的所在，毫無所知，貿然從事，也就不可能指望成功。另外又有一些人則把只能作為簡單習題的東西選作研究課題。文韋寫出來不能發表，既使發表了，也難登大雅之堂。要選題得當，必須熟悉與該課題有關的文獻，知道什麽叫做「前進了一步」，就可確立自己努力的目標。
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要重視基礎知識和訓練
最後，我想談一談「基礎」問題。這裏所說的基礎，是指從事一門學問所必須具備的知識和訓練。缺乏必要的知識便不知道別人在講些什麽，不理解問題和結論的含義。缺乏必要的訓練，則會感到處處是困難，寸步難行。因此，一定的基礎是必要的。但基礎只是相對於某種科目而言。研究代數的人，對數學分析的要求便不同於研究微分方程式的人。而一個人常常會依據客觀的需要或學科的發展而改變自己的觀點和選題，這時，原有的基礎便不能適應新的需要，要從新學習。即使老是在同一學科裏工作，但隨著學科的發展和自己工作範圍的擴大，也需要學習新的基礎性的東西。因此，基礎是一個無底洞。雖然一定的基礎是必要的，但不能等到把一切都準備好了再開始工作，只能在工作中透過邊幹邊學，擴大和加深自己的基礎知識。
對於培養基本訓練來談，重要的是多作些不同型別的題，做到腦子活、思路寬。一個優秀的作家總是具有寬廣多變的思路。莎士比亞便是一個很好的例子，他的三十七部劇本在題材和處理手法方面，各有其特色。【水滸傳】裏的那些主要人物也各有其獨特的面貌。但一個拙劣的作者在處理題材時，則往往千篇一律，大同小異，使人一見便知出自誰手。這樣的人來搞數學，在最好的情況下，也不過是個程咬金，就是那麽三板斧。遇到問題，湊巧他那一手可以駕馭，算碰上一回；若對不上號，便無所施其計。程咬金的缺點，不是他無能，因為他也有三板斧，而在於他因循守舊，滿足現狀，不願學習新事物，也不想學習別人的長處。
在上面，我拉雜寫了一些自己在學習數學的過程中的一些體會。談了這些，並不意味著我已經學好了；相反，我卻具備了上面提到的各種缺點，將自己的缺點與別人的優點相比，感受頗多，所寫的實際上是一些感受。另一方面，對於學習，各人有各人的體會，這當中自然帶有不少偏見和局限性，請讀者見諒。
越民義 ，著名數學家、中國運籌學的拓荒者和帶頭人，在排隊論、非線性最佳化和組合最佳化方面取得了多項國際領先水平的重要研究成果。曾擔任中國科學院數學與系統科學研究院套用數學所副所長，中國運籌學會理事長。1921年6月生於貴州省貴陽市，1945年畢業於浙江大學數學系。此後先後在貴陽高中、浙江大學和貴州大學任教。他初受教於陳建功教授和蘇步青教授，研究函式論；後成為華羅庚教授的助手，從事數論研究。1951年調到中國科學院數學研究所從事數學研究。先後任助研、副研和正研。1958年遵照國家需求，轉入新的學科領域——運籌學。他在運籌學方面的研究成果斐然，是中國著名的運籌學專家。他因在運籌學領域取得多項突出成果，曾先後獲得全國科學大會獎(1978)、兩次中國科學院自然科學獎一等獎(1981、1987)、國家自然科學獎三等獎(1987)，以及首屆中國運籌學會科學技術獎(2008)等,為中國運籌學和數學規劃的發展和人才培養做出了傑出貢獻。
他主要從事數論、排隊論、排序理論、數學規劃等方面的研究工作。在數論方面，解決了美國格羅斯·沃爾德提出的新問題，對三維除數問題作了較顯著的改進。在排隊論方面，首次給出了多台排隊系統M/M/s的瞬時性態的解析運算式，並研究了此系統的平穩分布的存在性質。在排序理論方面，對Flow-Shop排序問題得出了差別先後順序的最優條件，並設計出尋求最優順序的效率高的新演算法。在數學規劃方面，解決了非線性最佳化問題Wolfe既約梯度演算法的不收斂問題，設計出解非凸規劃的具有全域收斂性的新的既約梯度自滿。曾在富氏分析、數論、排隊論、組合數學、數學規劃等學科領域發表論文20余篇以及其他著作若幹。曾擔任【運籌學】雜誌主編、【套用數學學報】副主編、【中國大百科全書】數學卷運籌學分冊主編。
本文 原載於【數學家談怎樣學數學】（黑龍江教育出版社，1986年09月第1版）。「數學大院」編輯整理 。
