有界函式f(x)黎曼可積的充要條件是f(x)幾乎處處連續。
而狄利克雷函式：
黎曼積分的過程就是把自變量區間劃分成一個個無窮小區間之和。然後在這個無窮小區間Δx的範圍內， 所有的點對應的函式值都相同 ，即可以得到一個矩形面積：
這種情況對於函式連續的情形是沒有問題的。所謂函式連續，就是當這個函式的自變量幾乎不變的時候，這個函式的函式值也幾乎不變化，而幾乎不變化就是這種變化是無窮小。
但問題在於，自變量劃分的任意一個區間，包括無窮小區間，都有有理點和無理點：
上圖表示，在x劃分的一個無窮小區間內，存在一個有理數點和無數個無理數點。
而根據狄利克雷函式的定義，在這個無窮小區間內，因為 有理數點和無理數點所對應的函式值不相等 ，因此也就無法得到一個矩形，從而計算出這個無窮小區間內的面積，所以狄利克雷函式是黎曼不可積分的。
那狄利克雷函式為什麽又是勒貝格可積分的呢？
原因就在於，勒貝格積分是把有理數點和無理數點分開計算的。
既然有理數和無理數對應的函式值不相同，那就先計算所有有理數點的長度，再把這個長度乘以有理數點對應的函式值，不就得到所有有理數點所構成的面積了嗎？然後對無理數點也采取相同的方法，這樣處理以後，狄利克雷函式的積分不就可以計算出來了嗎？
當然，狄利克雷函式中因為所有有理數點構成的集合其長度（測度）為0，雖然其函式值等於1，其積分結果還是0；雖然所有無理數點構成的集合其長度（測度）不等於0，但其函式值等於0，所有其積分結果也是0。由此，狄利克雷函式的整個勒貝格積分的結果等於0。
簡單來說:
1：黎曼積分可積分的條件就是在自變量的一個無窮小區間內，其對應的函式值必須相等；
2：但自變量的任一個無窮小區間內既包含有理數也包含無理數；
3：狄利克雷函式的定義剛好破壞了黎曼可積分的條件；
4：勒貝格積分則是把有理數點和無理數點分開考慮，這種分開的方法使得狄利克雷函式的積分變得可以計算。
