有界函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)几乎处处连续。
而狄利克雷函数：
黎曼积分的过程就是把自变量区间划分成一个个无穷小区间之和。然后在这个无穷小区间Δx的范围内， 所有的点对应的函数值都相同 ，即可以得到一个矩形面积：
这种情况对于函数连续的情形是没有问题的。所谓函数连续，就是当这个函数的自变量几乎不变的时候，这个函数的函数值也几乎不变化，而几乎不变化就是这种变化是无穷小。
但问题在于，自变量划分的任意一个区间，包括无穷小区间，都有有理点和无理点：
上图表示，在x划分的一个无穷小区间内，存在一个有理数点和无数个无理数点。
而根据狄利克雷函数的定义，在这个无穷小区间内，因为 有理数点和无理数点所对应的函数值不相等 ，因此也就无法得到一个矩形，从而计算出这个无穷小区间内的面积，所以狄利克雷函数是黎曼不可积分的。
那狄利克雷函数为什么又是勒贝格可积分的呢？
原因就在于，勒贝格积分是把有理数点和无理数点分开计算的。
既然有理数和无理数对应的函数值不相同，那就先计算所有有理数点的长度，再把这个长度乘以有理数点对应的函数值，不就得到所有有理数点所构成的面积了吗？然后对无理数点也采取相同的方法，这样处理以后，狄利克雷函数的积分不就可以计算出来了吗？
当然，狄利克雷函数中因为所有有理数点构成的集合其长度（测度）为0，虽然其函数值等于1，其积分结果还是0；虽然所有无理数点构成的集合其长度（测度）不等于0，但其函数值等于0，所有其积分结果也是0。由此，狄利克雷函数的整个勒贝格积分的结果等于0。
简单来说:
1：黎曼积分可积分的条件就是在自变量的一个无穷小区间内，其对应的函数值必须相等；
2：但自变量的任一个无穷小区间内既包含有理数也包含无理数；
3：狄利克雷函数的定义刚好破坏了黎曼可积分的条件；
4：勒贝格积分则是把有理数点和无理数点分开考虑，这种分开的方法使得狄利克雷函数的积分变得可以计算。
