无理数危机：毕达哥拉斯的梦想破灭
毕达哥拉斯是公元前五世纪的古希腊数学家和哲学家，他创立了一个融合了政治、学术和宗教的神秘主义组织：毕达哥拉斯学派。他们的哲学信条是「万物皆数」，认为一切事物都可以用整数或整数之比来表示。他们还发现了著名的毕达哥拉斯定理，即直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和。
然而，就是这个定理，却让毕达哥拉斯的梦想破灭了。他的一个弟子希巴斯发现了一个问题：如果一个正方形的边长是1，那么它的对角线的长度是多少呢？经过计算，他发现这个长度既不能用整数，也不能用分数来表示，而只能用一个无限不循环的小数来近似，即$\sqrt{2}$。这就是人类历史上第一个无理数，也就是不能用整数之比来表示的数。
这个发现引起了数学史上的第一次危机，因为它直接否定了毕达哥拉斯的「万物皆数」的理论，也动摇了古希腊人对数学的信心和崇拜。毕达哥拉斯学派对这个发现非常恐慌，甚至有传说说他们把希巴斯扔进了大海，想要掩盖这个秘密。但是，真理是无法被掩盖的，无理数的存在是不可否认的，它给数学带来了新的挑战和机遇。
微积分危机：无穷小的困惑
微积分是数学中最重要的工具之一，它可以用来研究变化和运动的规律，也可以用来求解许多复杂的问题，如曲线的长度、曲面的面积、物体的体积、函数的极值等。微积分的发明者是牛顿和莱布尼兹，他们几乎在同一时期，独立地发现了微积分的基本原理和方法。
然而，微积分的理论并不完善，它建立在无穷小的概念之上，但是无穷小到底是什么呢？它是一个非常小的数，还是一个等于零的数，或者是一个介于两者之间的数呢？牛顿和莱布尼兹对无穷小的理解和运用都是模糊和混乱的，他们没有给出一个清晰和严格的定义，也没有给出一个合理和一致的运算法则，而是凭借直觉和经验来操作无穷小。
这就导致了数学史上的第二次危机，因为微积分的合理性和正确性遭到了严重的质疑和攻击，有些人甚至认为微积分是一种伪科学，是一种欺骗和猜测。最有名的反对者是英国的大主教贝克莱，他在他的【分析家】一书中，用讽刺和嘲笑的口吻，指出了微积分中的许多矛盾和荒谬，比如说无穷小既等于零又不等于零，既可以相加又可以相除，既可以无限接近又可以无限远离等等。
集合论危机：罗素悖论的惊天发现
集合论是数学中最基础的理论之一，它研究的是集合的性质和关系，也就是一些元素的组合。集合论的创始人是康托尔，他在19世纪末发展了一套完整的集合论体系，引入了许多新颖和深刻的概念，如无限集合、基数、序数、连续统等。他的工作开辟了数学的新领域，也为数学的公理化和逻辑化奠定了基础。
然而，集合论并不完美，它也隐藏着一些悖论和矛盾，最有名的就是罗素悖论。罗素是英国的数学家和哲学家，他在研究集合论时，发现了一个看似简单却又极其深刻的问题：如果一个集合S是由所有不属于自己的集合所组成，那么S是否属于自己呢？这个问题看起来很合理，因为对于任何一个给定的集合，我们都可以问它是否属于自己，这是一个是非问题，只有两种可能的答案：是或否。
但是，无论我们怎么回答这个问题，都会陷入逻辑上的困境。如果我们说S属于自己，那么根据S的定义，S就不应该属于自己；如果我们说S不属于自己，那么同样根据定义，S就应该属于自己。无论我们怎么选择，都会得到一个自相矛盾的结论，这就是罗素悖论。
这个悖论引起了数学史上的第三次危机，因为它不仅涉及到集合论中最基本的东西，而且也威胁到了整个数学的逻辑基础。如果集合论中存在这样的悖论，那么建立在集合论之上的其他数学理论是否也存在悖论呢？如果数学中存在悖论，那么数学是否还是一门严谨和可靠的科学呢？
