补充一下。
以一维自旋链为例，JW变换具体的形式是：
\begin{equation} \begin{aligned} c_i^{\dagger}&=\prod_{l<j}\sigma_l^z \sigma_j ^- \\ c_i&=\prod_{l<j}\sigma_l^z\sigma_j^+ \end{aligned} \end{equation}
可以看出其形式是自旋链乘上某点的自旋升降算符。
其中， \sigma^-_i 和 \sigma^+_i 是自旋的升降算符， c^{\dagger}_i 和 c_i 是费米子的产生湮灭算符，题主可以自己检验一下， c^{\dagger}_i 和 c_i 满足费米子的反对易关系。第i个格点上的粒子数算符是：
\begin{equation} c_i^\dagger c_i=\sigma_i^-\sigma_i^+=\frac{1-\sigma_i^z}{2} \end{equation}
那么 \begin{equation} \sigma_i^z=1-2c^\dagger_i c_i \end{equation}
可以看到某个格点上的自旋状态 |\uparrow\rangle 和 |\downarrow\rangle 分别对应着fermion占据数为0和1的状态。
凝聚态里经常用JW变换结合Fourier变换和Bogoliubov变换来求解某个自旋体系的能谱，之前了解过几份工作用到了这套手续，题主感兴趣的话可以看一下：
附上之前算过的某个spin模型的能谱和完全数值结果的对比图（小系统）：
横轴是模型的某个参数。上图是精确解，下图是数值计算的结果（直接mma求矩阵本征值），我也搞不清楚那一堆竖线是什么情况= =
