無理數危機：畢達哥拉斯的夢想破滅
畢達哥拉斯是公元前五世紀的古希臘數學家和哲學家，他創立了一個融合了政治、學術和宗教的神秘主義組織：畢達哥拉斯學派。他們的哲學信條是「萬物皆數」，認為一切事物都可以用整數或整數之比來表示。他們還發現了著名的畢達哥拉斯定理，即直角三角形的斜邊的平方等於兩直角邊的平方之和。
然而，就是這個定理，卻讓畢達哥拉斯的夢想破滅了。他的一個弟子希巴斯發現了一個問題：如果一個正方形的邊長是1，那麽它的對角線的長度是多少呢？經過計算，他發現這個長度既不能用整數，也不能用分數來表示，而只能用一個無限不迴圈的小數來近似，即$\sqrt{2}$。這就是人類歷史上第一個無理數，也就是不能用整數之比來表示的數。
這個發現引起了數學史上的第一次危機，因為它直接否定了畢達哥拉斯的「萬物皆數」的理論，也動搖了古希臘人對數學的信心和崇拜。畢達哥拉斯學派對這個發現非常恐慌，甚至有傳說說他們把希巴斯扔進了大海，想要掩蓋這個秘密。但是，真理是無法被掩蓋的，無理數的存在是不可否認的，它給數學帶來了新的挑戰和機遇。
微積分危機：無窮小的困惑
微積分是數學中最重要的工具之一，它可以用來研究變化和運動的規律，也可以用來求解許多復雜的問題，如曲線的長度、曲面的面積、物體的體積、函數的極值等。微積分的發明者是牛頓和萊布尼茲，他們幾乎在同一時期，獨立地發現了微積分的基本原理和方法。
然而，微積分的理論並不完善，它建立在無窮小的概念之上，但是無窮小到底是什麽呢？它是一個非常小的數，還是一個等於零的數，或者是一個介於兩者之間的數呢？牛頓和萊布尼茲對無窮小的理解和運用都是模糊和混亂的，他們沒有給出一個清晰和嚴格的定義，也沒有給出一個合理和一致的運演算法則，而是憑借直覺和經驗來操作無窮小。
這就導致了數學史上的第二次危機，因為微積分的合理性和正確性遭到了嚴重的質疑和攻擊，有些人甚至認為微積分是一種偽科學，是一種欺騙和猜測。最有名的反對者是英國的大主教貝基利，他在他的【分析家】一書中，用諷刺和嘲笑的口吻，指出了微積分中的許多矛盾和荒謬，比如說無窮小既等於零又不等於零，既可以相加又可以相除，既可以無限接近又可以無限遠離等等。
集合論危機：羅素悖論的驚天發現
集合論是數學中最基礎的理論之一，它研究的是集合的性質和關系，也就是一些元素的組合。集合論的創始人是康托爾，他在19世紀末發展了一套完整的集合論體系，引入了許多新穎和深刻的概念，如無限集合、基數、序數、連續統等。他的工作開辟了數學的新領域，也為數學的公理化和邏輯化奠定了基礎。
然而，集合論並不完美，它也隱藏著一些悖論和矛盾，最有名的就是羅素悖論。羅素是英國的數學家和哲學家，他在研究集合論時，發現了一個看似簡單卻又極其深刻的問題：如果一個集合S是由所有不屬於自己的集合所組成，那麽S是否屬於自己呢？這個問題看起來很合理，因為對於任何一個給定的集合，我們都可以問它是否屬於自己，這是一個是非問題，只有兩種可能的答案：是或否。
但是，無論我們怎麽回答這個問題，都會陷入邏輯上的困境。如果我們說S屬於自己，那麽根據S的定義，S就不應該屬於自己；如果我們說S不屬於自己，那麽同樣根據定義，S就應該屬於自己。無論我們怎麽選擇，都會得到一個自相矛盾的結論，這就是羅素悖論。
這個悖論引起了數學史上的第三次危機，因為它不僅涉及到集合論中最基本的東西，而且也威脅到了整個數學的邏輯基礎。如果集合論中存在這樣的悖論，那麽建立在集合論之上的其他數學理論是否也存在悖論呢？如果數學中存在悖論，那麽數學是否還是一門嚴謹和可靠的科學呢？
