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在月球背面的諸多環形山中，有5座以中國古代天文學家命名，分別是祖沖之、郭守敬、張衡、石申和萬戶環形山。在5座環形山中，郭、張、石、萬4座都是1970年被國際天文聯合會正式批準的，獨有位於月緯17.16°N，月經145.16°E的祖沖之環形山早了9年，1961年就獲得了國際天文學會的認可。
提起祖沖之，也許第一時間想到的是他在公元5世紀作出的傑出數學成就--也就是眾所周知的圓周率π精確近似值以及約、密率。
但人們還忽略了，他不僅是名出色的數學家，更是一位在歷法上作出不滅貢獻的天文學家。
中下層家族出身的學者
祖沖之，字文遠，祖上是北方範陽（今河北淶水縣）人，他本人則是土生土長的江南人。北方的範陽祖氏跑到南方生根，自然是因為西晉末永嘉大亂。
祖沖之像。祖沖之是南朝宋、齊時代傑出的數學家、天文學家。他最為家喻戶曉的成就為算出圓周率π精確近似值並給出約、密率，其結果領先世界千年之久。除此之外，他還是傑出的天文學家，編制了【大明歷】
晉元熙二年、劉宋永初元年（420），劉裕滅東晉建立劉宋，祖家也像大多數人一樣繼續在朝廷任職。祖沖之祖父祖昌擔任過將作大匠（梁武帝時改名大匠卿），品秩為中二千石，負責朝廷的土木工程；父親祖朔之為奉朝請，為南朝安置閑散官的職務。正史中祖台之本傳就只有一句話，祖昌和祖朔之甚至無傳，但讓人詫異的是，雖然父祖默默無聞，祖沖之卻在劉宋第四任皇帝孝武帝劉駿在位時翻了身，進入世人的視野中。
祖沖之生於元嘉六年（429），比劉駿大一歲，史書中並未記載兩人早期有什麽瓜葛，但劉駿即位後，立即讓祖沖之"直華林學省"，並"賜宅宇車服"（【南齊書·祖沖之傳】）。【宋書】中沒有"華林學省"的記載，但頻頻提到華林園，武帝、孝武帝多次在此親自聽取訴訟，少帝被弒前在華林園擺攤，可見是劉宋皇帝常去的一處園子，推測"直華林學省"為在華林園辦公的皇帝近侍應屬合理。不僅如此，大明五年（461），祖沖之首次出仕（"釋褐"）就被任命為南徐州刺史劉子鸞的從事、公府參軍更值得世人深思：劉子鸞為劉駿最寵愛的兒子，只要父親看到什麽好東西，"莫不入子鸞之府"，此外以皇子領大郡是劉宋壓服地方豪族的慣例，為了輔助這些不諳世事的皇子，往往會給他配屬精明能幹的帝王心腹作為幕僚。大明五年時劉子鸞才5歲，遙領可能性更大，祖沖之到底是在南徐州處理公務還是在京城劉子鸞身邊雖不可知，但能廁身皇帝托付愛子的近臣行列，可見他同劉駿關系遠較旁人想象得密切。
大約在此時期，得到皇帝充分信任的祖沖之才能作出一項牽涉學術外甚多的重大天文改革--修改傳統歷法，推出【大明歷】。
美國月球軌域器5號（Lunar Orbiter 5）拍攝到的祖沖之環形山，該環形山位於月緯17.16° N，月經145.16° E，直徑28.3公裏，深度1.98公裏。該環形山最早由1959年升空的蘇聯月球3號衛星拍攝到，蘇聯科學院在征求中方意見後將其命名為祖沖之環形山
具有革新意義的【大明歷】
創造出燦爛農業文明的中華先民出於生產需要，很早就對歷法產生了濃厚的興趣，而且經過長期的對日月執行規律的觀察和總結，他們發展出了一套較為罕見的陰陽歷結合的歷法，即以一次月圓（或月缺）到下次月圓（或月缺）為基準定月（朔望月），而以當年冬至到次年冬至為基準定年（回歸年）。這麽定的好處在於以朔望月定月，擡頭即可確定時間，方便確定；以回歸年定年，每年季節大致相同，方便生產。
然而，朔望月實際是月球繞地周期時長，回歸年是地球繞太陽時長，兩者並不能整除，每月按大小月分別為30或29天，算下來12月為354天，但回歸年共365.25天，兩者有11天左右的差距。為解決此問題，古代天文歷法家采用置閏法加以補齊，也就是每隔兩三年就多加一個"閏月"，由此又衍生出一個新問題：那麽到底該多少年置一閏月？
解決方案早在先秦時期就被提出，人們在實踐中發現19個回歸年的時長同235個朔望月差不多相當，便在正常19年的228個月外另加7個閏月敉平差距。由於古人將19年稱為一"章歲"，19年7閏也就被稱為"章歲法"。從漢代開始流行的"四分歷"，正是基於"章歲法"制定的。
很顯然，"章歲法"只是一種近似，時間一長誤差就會越來越大，到南北朝時人們已然發現，"章歲法"雖然能將日子合上，但每月時間卻同當月原應有的季節產生了偏差，對一個需要按月份節氣進行農業生產安排的國家來說，這無疑是天大的噩耗，修正歷法的需求也變得迫切起來。
終於，祖沖之在經過反復計算後，認為每年實際為365.24281481日，而現代天文學所測一年為365.24219879日，誤差只有65萬分之一，約50秒。因而提出改為391年置144閏月。
【南齊書·祖沖之傳】，祖沖之生於南朝劉宋文帝元嘉六年（429），卒於南齊永元二年（500），因而被列入【南齊書】列傳。不過，他生平心血所編制的【大明歷】在宋齊兩朝因為種種緣故都未能付諸實施，直到他去世10年後梁武帝天監九年（510）方才施行
祖沖之為什麽能將回歸年確定得如此精確？最主要的原因，就是他引入了當時最先進天文發現成果-東晉天文學家虞喜確認的赤道歲差。
所謂赤道歲差，是一種地球自轉軸運動引起的春分點位移現象。
祖沖之銅像。祖沖之不僅是傑出的數學家，同時也是在歷法上作出不滅貢獻的天文學家。他在【大明歷】中引入了赤道歲差，還準確計算出交點月值（月亮兩次經過黃道與白道交點時長），推算出木星公轉周期，確定了水星、金星運轉一周所需時間，成就卓著
制定準確的歷法，使用歲差確定每年時長是一個方面，另一方面自然就是確定冬至點時刻。中國古代歷法向來以冬至點為回歸年開始，確定具體冬至點時刻也成為歷法的重中之重。在相當長的一段時間內，古人測定冬至的方法很粗糙，就是將一年當中正午日影最長之日定為冬至日，誤差能以天計。從西漢開始，天文學家意識到精度需要從天提高到具體時刻，開始嘗試尋找具體的冬至時刻點，到何承天時透過改進測量手段，已經將精度提高到50刻左右。然而，正是在這些測量手段之上，祖沖之透過一個極為巧妙的數學處理方法，又將冬至點精度提高了一大截。
祖沖之透過數學方法將難以測量的時間實際轉換為幾何計算，從而大大減小了誤差。按他的方法，人們根本不用連續觀測，只需在冬至日前後觀測即可，考慮到此時只是公元5世紀，他的數學思維實在讓人嘆服。事實上，在祖沖之編制的【大明歷】中處處都有精妙的計算，他不僅準確計算了交點月值（月亮兩次經過黃道與白道交點時長）為27.21223日，同現代觀測相差只有百萬分之一，使得推算月食更為精確--【大明歷】能準確推算出元嘉十三年（436）到大明三年（459）中4次日食。除此之外，祖沖之還推算出木星公轉周期為11.858年（現代測定11.862年），確定了水星、金星運轉一周所需時間，都同現代天文觀測相近，要不是因為其他緣由遮掩，光憑一本【大明歷】說他是偉大數學家和天文學家都已足矣。
不過無需遺憾，因為遮掩歷法中數學才華不是別的，正是他在數學上的另一項偉大成果--計算出精確圓周率，提出了約率（22/7）和密率（355/113）。
領先千年的精準圓周率
圓周長和半徑之比π到底是多少？這不僅是人們研究天文必然遇到，更是他們只要進行生產生活就會遇到的問題。人類最早有關圓周率的記載於約公元前16世紀的埃及萊因德數學紙草書（Rhind Mathematical Papyrus），算得圓周率為3.1605。當時古埃及人常用經驗公式確定π值，方法也很簡單：他們將谷子擺放在圓周和直徑上，透過計算谷子比例可以得到π的近似值。
中國古代最早的數學著作之一，約成書於西漢末的【周髀算經】提到"圓徑一二周三"，顯然是將π值定為3，即古人所稱的"古率"，雖然只是π很粗略的近似值，但以當時的數學發展水平，沒有辦法算出更好的值，因而在成書於東漢初的【九章算術】中也都在使用"古率"。
劉徽像，出自紀念郵票【中國古代科學家第四組】。劉徽（約250—？）為魏晉數學家，他的【九章算術註】和【海島算經】為中國最寶貴的數學遺產。他在【九章算術註】中具體介紹了用古典幾何方法求圓周率的具體過程——割圓術
中國人得出較為精確的π值始於西漢末新莽時期。
新莽嘉量，又名律嘉量斛，通高25.6厘米，現藏台北故宮博物院。該青銅量具將五種量具融於一體，「其上為斛、其下為鬥，左耳為升，右耳為合，合下為龠」，背面銘文則說明了斛的具體尺寸，從中可推算出當時制作者所使用的π值約為 3.1547
此後東漢張衡、蔡邕也都是使用經驗公式給出了近似π值，張衡認為等於3.1622（10開方）；蔡邕認為等於25/8，直到魏晉之際，數學家劉徽在給【九章算術】做註時，才第一次給出求圓周率的幾何方法--割圓術。
阿基米德割圓術示意圖，他透過同時構造圓內接和外切正多邊形，然後計算其周長以取得周長近似值，重復該步驟求得圓周率約為3.1409<π<3.1429。阿基米德的演算法需要同時計算內接和外切正多邊形，計算量較割圓術大不少，同時由於割圓術利用「差冪」的思路接近數值分析中「最小平方法」，數值精度會更高
祖沖之正是在劉徽等人的基礎上，同他兒子祖暅（亦有記載為祖暅之）將圓周率推到一個新高峰，精確到小數點後7位。
盡管他使用的仍然是幾何方法，但國外要直到15世紀才由中亞數學家艾爾卡西（al-Kashi）打破了他的記錄，計算到小數點後14位元，更為精確的計算則要等到18世紀中葉後，西方數學家掌握無窮級數、積分、冪級數展開等近代數學工具才得以實作。
此外，不容忽略的是，祖沖之給出了簡便而又精度甚高的約率和密率，約率大概是根據劉徽給出π近似值157/50而來，透過解不定方程式，得到第一組解即為22/7，而密率大約為祖沖之獨創，但後世已不知道他是如何求出此解，只能猜測可能是使用了何承天的"調日法"（數值逼近的內插法），或是使用了連分數法求最佳漸進分數，但不管是何種方法，西方都直到1573年才由德國數學家重新算出。以是而言，祖沖之對圓周率的計算領先世界千年之久。
祖暅原理示意圖。左右兩堆硬幣滿足同高的立體等高處的截面積相等的條件，因而體積相等，即所謂「冪勢既同，則積不容異」。圖中直觀地表現了此原理，但嚴格數學證明需要套用高等數學中的定積分
學術成果命運多舛
無論是【大明歷】還是圓周率，祖沖之的成就可謂震古爍今，而他取得成就最根本緣由，無疑就是超人的數學思維。然而讓後人遺憾的是，記載他和祖暅數學思想的【綴術】在唐代就失傳，以至於後世根本無從了解祖氏父子的計算方法，只能從他人轉述的殘片中領略兩人風采。比如，祖暅曾在【綴術】中提到"冪勢既同，則積不容異"，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等。或者說，介於兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行於這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。祖暅原理直到17世紀才被西方學者卡瓦列裏（Cavalieri）發現，而在中國早被祖氏父子熟練用於求出牟合方蓋體積，進而算出球體積。
事實上，祖暅原理的證明需要用到定積分，在當時需要相當抽象的立體幾何能力才能理解，由此也可想見【綴術】難度之大。唐高宗時，此書被列入【算術十經】，為國子監數學教材之一，但專研【綴術】的學習年限為四年，是【算術十經】中最長的一種。【綴術】之抽象難懂甚至還引發一樁公案，【緝古算經】的作者、數學家王孝通在唐高祖時為歷算博士、太史丞，公然批評【綴術】"全錯不通"，結果太宗群臣編寫組就在【隋書·律歷誌】暗中發出嘲笑："（【綴術】）學官莫能究其深奧，是以廢而不理"。
好在，祖沖之和他兒子光輝的學術成果遠比一切命運打擊都更為長久。千年以降，祖沖之之名不僅沒有被人遺忘，還走出國門，登上了月球。
參考文獻：
金開誠、郭蕊【數學泰鬥祖沖之】
魏曉妮【歷史上對圓周率的探索】
來源丨國家人文歷史（文/李思達）
編輯丨甘小博
